2025-2026学年上学期期中试卷

一、

1. 计算四阶行列式 $D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 0 & -5 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}$
2. 证明$\begin{vmatrix} a & b & c & d \\ a & a + b & a + b + c & a + b + c + d \\ a & 2a + b & 3a + 2b + c & 4a + 3b + 2c + d \\ a & 3a + b & 6a + 3b + c & 10a + 6b + 3c + d \\ \end{vmatrix} = a^4$

二

1. 计算四阶行列式 $D_4 = \begin{vmatrix} a_1^3 & a_2^3 & a_3^3 & a_4^3 \\ a_1^2b_1 & a_2^2b_2 & a_3^2b_3 & a_4^2b_4 \\ a_1b_1^2 & a_2b_2^2 & a_3b_3^2 & a_4b_4^2 \\ b_1^3 & b_2^3 & b_3^3 & b_4^3 \end{vmatrix}, a_i \not= 0,(i = 1,2,3,4)$
2. 计算 $f(x+1) - f(x)$, 其中

$$f(x) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x \\ 1 & 2 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x^2 \\ 1 & 3 & 3 & 0 & \cdots & 0 & x^3 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 1 & n & C_n^2 & C_n^3 & \cdots & C_n^{n-1} & x^n \\ 1 & n + 1 & C_{n+1}^2 & C_{n+1}^3 & \cdots & C_{n+1}^{n-1} & n^{n+1} \end{vmatrix}$$

3. 计算以下 $n+1$ 阶行列式：

$$D_{n+1} = \begin{vmatrix} a & ax & ax^2 & \cdots & ax^{n-1} & ax^n \\ -1 & a & ax & \cdots & ax^{n-2} & ax^{n-1} \\ 0 & -1 & a & \cdots & ax^{n-1} & ax^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a & ax \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & a \end{vmatrix}$$

三

1. 设行列式

$$D = \begin{vmatrix} 3 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & -7 & 0 & 0 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \end{vmatrix}$$

求 $D$ 的第 $4$ 行元素的余子式之和 $M_{41}+M_{42}+M_{43}+M_{44}的值。$

2.设$a_1a_2\cdots a_{n-1} \not= 0, n > 1$。试求行列式

$$D = \begin{vmatrix} x & b_1 & b_2 & \cdots & b_{n-1} \\ 1 & a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & a_{n-1} \end{vmatrix}$$

的第一行中诸元素的代数余子式之和 $A_{11} + A_{12} + \cdots +A_{1n}$。

四

1. 已知齐次线性方程组

$$\left \{ \begin{aligned} (3-\lambda)x_1 + x_2 + x_3 &= 0, \\ (2-\lambda)x_2 - x_3 &= 0, \\ 4x_1 - 2x_2 + (1-\lambda)x_3 &= 0 \end{aligned} \right .$$

有非零解，求$\lambda$的值。

2. 已知 $a^2 \not = b^2$，试证方程组

$$\left \{ \begin{aligned} ax_1 + bx_{2n} &= 1, \\ ax_2 + bx_{2n-1} &= 1, \\ \vdots \\ ax_n + bx_{n+1} &= 1, \\ bx_n+ax_{n+1} &= 1, \\ bx_{n-1} + ax_{n+2} &= 1, \\ \vdots \\ bx_1+ax_{2n} &= 1 \\ \end{aligned} \right .$$

有唯一解，并求解。

五

设 $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

1. 求 $A^2$
2. 证 $A$ 可逆，且求 $A^{-1}$
3. 求 $(A^*)^{-1}$

六

1. 设 $ABA=C$, 其中 $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix},C = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$, 求 $B$ 的伴随矩阵 $B^*$。

2. 已知矩阵 $A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & 5\end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix}2 & 1 \\1 & 2\end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 3 & 1 \\ 0 & 2\end{pmatrix}$, 且 $AXB = C$, 求矩阵 $X$

七

已知 $A$ 为三阶可逆矩阵，$B$ 为三阶矩阵，且满足 $2A^{-1}B=B-4E$。

1. 证明：$(A-2E)$ 为可逆矩阵，且写出 $(A-2E)^{-1}$。
2. 若 $B = \begin{pmatrix}1 & -2 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}$, 求矩阵 $A$。

八

设$\left \{ \begin{aligned} (2-\lambda)x_1+2x_2-2x_3 &= 1 \\ 2x_1+(5-\lambda)x_2-4x_3 &= 2 \\ -2x_1-4x_2+(5-\lambda)x_3 &= -\lambda - 1 \end{aligned} \right .$ 问 $\lambda$ 为何值时，此方程组有唯一解，无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其解。

九

已知矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

1. 求 $A^n(n=2,3,\cdots)$
2. 若方阵$B$满足$A^3+A^2+AB-3A-2E=0$，求$B$